Задача по геометрии(

[Гретхен]

Четвертый день не могу решить задачу по геометрии для 9-го класса из пробного экзамена в обыкновенной, не математической, школе. Позор мне, позор.
Племянник ее не решил, в классе тоже никто решить не смог.
Задача такая:
Четырехугольник АВСД вписан в окружность. Сторона АБ равна 25, СД - 16, угол АВД 60 градусов. Найти радиус окружности.
Мне оно не надо, но этот поганый четырехугольник уже ночами снится.
Может, кто-нибудь знает, как это решить?

[Гесс]

Перед тем как начать ломать голову я бы хотел уточнить - четырехугольник АБСД, угол АБД, то есть угол между стороной и диагональю. Так?

[dan14444]

А задача-то решения не имеет Треугольник АБД задан, а БСД - может быть любым, как СД повернёшь. Соответственно, радиус может быть от минимального по АБД, до него же +СД

Треугольник АБД кстати не задан.

А, кстати да, всё ещё хуже

[Гесс]

мне кажется имеет и я нащупываю путь.
Треугольник АБД кстати не задан. Там только 1 сторона и 1 угол.
Пока ясно 2 вещи: угол АСД равен 60 градусов (как и АБД) и то что радиус описанной окружности равен АД/кореньиз3 (свойство для вписанного треугольника 2R=a/sinα).
Помоему надо рассматривать каждый угол как сумму 2 прилегающих к диагонали, тогда можно написать чертову уйму уравнений, но как то мудровато для 9го класса.

[Гесс]

делать нечего, будем расписывать углы.
Назовем углы опирающиеся на сторону АБ - альфа, на сторону БС - бета, на сторону СД - гамма, на сторону ДА - дельта и он раве 60 градусов.
То есть угол АБС=60+гамма, БСД=60+альфа, СДА=альфа+бета, ДАБ=бета+гамма.
Кроме того АБС+АДС=180 БАД+БСД=180, что нам не дает ровным счетом ничего альфа+бета+гамма равно 120, что было очевидно из рассмотрения треугольников. Можно повыражать неизвестный радиус через кучу неизвестных углов, сторон и диагоналей а потом пробовать все пересокращать в теоремах птолемея но больно заумно. Должно быть чтото изяшное...

[Iskander]

Что-то мне подсказывает, что четырёхугольник должен быть трапецией, причём правильной. Тогда из точки Д опускаем перпендикуляр к АВ и решаем полученный треугольник, находя длину этого перпендикуляра. Потом переносим перпендикуляр на середину ребра СД, строим треугольник к его середине (Х - центр окружности) и решаем его. Итог - АХ - радиус.

Второй вариант - если центр вне четырёхугольника.

[IB]

Найти радиус окружности.

Четырёхугольников отвечающих решению задачи бесконечное множество, так же как и значений для радиусов описанных окружностей.

Доказательство производится произвольным построением.
- Построим угол ABD, зафиксировав D произвольно.
- С определяется как точка, из которой отрезок AD виден под углом 120 град.[1] Она определяется пересечением двух окружностей: a) с центром в D и радиусом равным заданному значению CD=16 b) окружностью с центром O' определяемым пересечением серединного перпендикуляра к AD и угла DAO' = 30 (отложенного по ту сторону AD где лежит точка B) и радиусом DO'. [2]
- По построению длина AD варьируется, а значит варьируется и радиус описанной окружности, поскольку AD= 2Rcos30.

[1] Вокруг четырёхугольника очевидно можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 градусам.
[2] Точку C можно построить лишь для определённого интервала длин AD. Возможность для данных в условии задачи параметров очевидна из построения. O' является центром описанной окружности.

[Гесс]

IB прав.
Воображаемые игры с треугольным аналогом невсиса показывают что существует некий интервал решений. Минимальным радиусом окружность будет обладать при длине БС близкой к нулю, определение максимального радиуса несколько сложнее, похоже когда меньший из углов ABD, ACD приблизится к 60 градусам.

[зыркало1]

Уважаемый Iskander! Респект! Обществу стоит к нему прислушаться!
Ещё читая условие задачи представила трапецию, а диагональ как раз равна 2-м радиусам, но чего-то безплатно решать задачку мне лениво...

[Maloy]

уважаемые госпада! я дико извиняюсь... но в современной школьной математике есть такая фича, о которой вы должно быть не знаете! а все дело в том, что когда в современной школьной математике говорят четырехугольник ABCD, то подразумевают не тот четырехугольник, который вы все тут себе представили, а четырехугольник, в котором есть стороны AB и AC, тогда угол ABD это не угол стороны и диагонали, а между сторонами AB и BD четырехугольника...
ну и тогда задача легко решается

[практик]

Это элементарная задача и имеет одно единственное решение, а описанных четырехугольников бесконечное число. Двумя сторонами и углом между ними однозначно задан треугольник АБС. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, а четвертая вершина Д четырехугольника ОБЯЗАНА быть на окружности по условию задачи. Итого третья сторона треугольника равна
√(a^2+b^(2 )-2ab cos⁡a ) Ну а радиус описанной окружности R = √(〖a^2+b〗^2-2ab cos⁡a )/(2 sin⁡a )
Гесс а Вы и впрямь теоретик

[EvgeniX]

когда в современной школьной математике говорят четырехугольник ABCD, то подразумевают не тот четырехугольник, который вы все тут себе представили, а четырехугольник, в котором есть стороны AB и AC, тогда угол ABD это не угол стороны и диагонали, а между сторонами AB и BD четырехугольника...

Это действительно так?

[Maloy]

так бывает, например

Код: Выделить всё

http://ege4.me/content/zadanie-6-11 

и в школьных учебниках по математике встречается...
и тогда в моем варианте приблизительный радиус 12,5

[ChemNavigator]

когда в современной школьной математике говорят четырехугольник ABCD, то подразумевают не тот четырехугольник, который вы все тут себе представили, а четырехугольник, в котором есть стороны AB и AC, тогда угол ABD это не угол стороны и диагонали, а между сторонами AB и BD четырехугольника...

Да, интересный расклад... А я уже собирался подтвердить то, что уже было сказано выше несколькими людьми - что задача в исх. формулировке имеет беск. множество решений (см. рис.) Для примера изображены только 4 окружности, их можно нарисовать сколько угодно.[cut][/cut]

Двумя сторонами и углом между ними однозначно задан треугольник АБС.

Даже если исходить из того что сказал коллега Maloy, то по условию задачи, заданы стороны AB и CD, и общих вершин у них нет. Поэтому треугольник не задан.

[Гесс]

.

Круто! Вы сами рисовали? А в чем? А ели углы АСД допилить - совсем нечитаемо будет?

Гесс а Вы и впрямь теоретик

Нет, просто зануда.

[Alex K]

А задача-то решения не имеет Треугольник АБД задан, а БСД - может быть любым, как СД повернёшь. Соответственно, радиус может быть от минимального по АБД, до него же +СД

ответ будет "радиус больше ...", минимальный радиус - когда С совпадает с Б и полученный треугольник вписан в окружность.

[ChemNavigator]

Вы сами рисовали? А в чем?

Да, в ISIS Draw (исх. skc-файл см. во вложении).

А ели углы АСД допилить - совсем нечитаемо будет?

А зачем, они же там не нужны.
Кстати, даже в "новой" трактовке четырёхугольника ABCD, решений тоже будет беск. множество. В этом случае BD представляет собой не диагональ, а сторону, и поэтому отрезок DC надо откладывать не влево, а вправо от точки D (см. рис.)[cut][/cut]

[Гретхен]

Ого! Спасибо огромное! Я тоже пришла к выводу, что задача не имеет единственного решения, но сомневалась. Все же пробное тестирование, ни хухры-мухры. Я уже все перепробовала, даже самые мерзкие, длинные формулы с полупериметром - число неизвестных больше числа уравнений.

[ Post made via Android ]

[Maloy]

Кстати, даже в "новой" трактовке четырёхугольника ABCD, решений тоже будет беск. множество.

а если сторона четырехугольника AB совпадет с диаметром описанной окружности?

[Гесс]

Кстати, даже в "новой" трактовке четырёхугольника ABCD, решений тоже будет беск. множество.

а если сторона четырехугольника AB совпадет с диаметром описанной окружности?

Таких частных случаев можно набрать много:
1) одна из сторон четырехугольника является диаметром. Кстати именно для АБ это невозможно.*
2) одна из диагоналей является диаметром
3) четырехугольник - трапеция
4) четырехугольник - дельтоид
5) в четырехугольник может быть вписан круг
6) диагонали четырехугольника перпендикулярны
7) площадь круга в n раз больше площади четырехугольника
и т.д.
n) четырехугольник с максимальным отношением площади к периметру. (соответственно и к площади круга)
Кстати ктото может сформулировать есть ли у этого множества верхняя граница (окружность такого радиуса что в нее не может быть вписан 4 угольник с указанными параметрами)? Мне казалось что да, но глядя на картинки ChemNavigatorа складывается ощущение что нет.

*Невозможно в трактовке четырехугольника АБСД: Треугольник БАД становится вписанным и АБ диаметр, значит угол АДБ прямой, значит угол ДАБ 30 градусов, значит диагональ БД равна половине диаметра, но СД больше чем половина диаметра, значит сторона СД пересекает сторону АБ - невыпуклый четырехугольник.
В трактовке четырехугольника АБДС это возможно, при этом сторона БД равна половине диаметра, а диагональ АД - корнюиз3*(АБ/2), так как это число больше чем 16 (21.5 с копейками), то ДС ни с кем не пересекается. АС при этом весьма короткая.